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Mathematische Objekte 

Die mathematischen Ausdrücke basieren hauptsächlich auf Zahlen, Variablen, arithmetischen Operationen und Funktionen. In diesem Kapitel werden die beiden ersten Kategorien erklärt, die Zahlen und die Variablen, neben einigen anderen, komplexeren Objekten wie Polynome oder Gleichungen, die man mit WIRIS erzeugen kann. In den Kapiteln Geometrie und Wiris ++ werden weitere mathematische Objekte erklärt.

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 Zahlen  Ganze Zahlen Rationale Zahlen Irrationale Zahlen
Dezimalzahlen Komplexe Zahlen  
 Variablen  Definition von Werten und ihre Zuordnung zu Variablen
 Andere Objekte  Polynome Gleichungen und Ungleichungen Listen
Vektoren und Matrizen Mathematische Ausdrücke  

 Zahlen

Wir können folgende Zahlen konstruieren:


Ganze Zahlen: Man erzeugt eine ganze Zahl, indem man ihre Ziffern auf der Basis 10 angibt. Wir erzeugen eine negative Zahl, wenn wir ihr das Symbol - vorstellen. Die ganzen Zahlen können eine beliebige Anzahl von Ziffern besitzen. Um einen Eindruck zu bekommen, berechne man 264 oder 100!. Mehr Informationen unter Integer.

Rationale Zahlen: Man erzeugt eine rationale Zahl als Bruch zweier ganzer Zahlen mit dem Symbolbild oder mit dem Symbol /. Wir verfügen über zwei Funktionen in Verbindung mit den rationalen Zahlen: zähler und nenner. Wenn q eine rationale Zahl ist, so bilden zähler(q) und nenner(q) (in dieser Reihenfolge) den Zähler und den Nenner des unkürzbaren Bruchs, der äquivalent zu q ist. Mehr Informationen unter Rational.

Irrationale Zahlen: Die irrationalen Zahlen, mit denen WIRIS arbeiten kann, sind π, e, und Wurzeln, wie zum Beispiel die Quadratwurzel von 2, und deren Kombinationen. Unter Kombinationen versteht man Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten. Mehr Informationen unter Irrational.

Dezimalzahlen: Man erzeugt eine Dezimalzahl, indem man den ganzzahligen Teil durch einen Punkt von den Dezimalstellen trennt. Mehr Informationen unter Gleiten.

Komplexe Zahlen: Man erzeugt eine komplexe Zahl, indem man mit der imaginären Zahl i und mit reellen Zahlen arithmetische Operationen ausführt (man kann die imaginäre Zahl auch mit dem Symbolbild oder mit dem Bezeichner i_ erzeugen). Mit der Funktion polar kann man ebenfalls komplexe Zahlen erzeugen. Einige Funktionen, die mit die komplexen Zahlen zusammenhängen, sind realteil, Imaginär_teil, argument, norm oder konjugiert. Mehr Informationen unter Komplex.

 Variablen

In der Mathematik und in WIRIS sind die Variablen Namen mit oder ohne zugeordneten Werten. Ein Name ist eine Reihe alphanumerischer Zeichen, die mit einem Buchstaben beginnt, wie zum Beispiel x, y, x1, x2, HAL oder alpha. Andererseits sind 2x oder 3ab keine Variablen, da ihr erstes Zeichen eine Zahl ist.

WIRIS unterscheidet zwischen Groß- und Kleinbuchstaben. Somit sind x und X oder auch f1 und F1 je zwei verschiedene Variablen.



Definition von Werten und ihre Zuordnung zu Variablen 

Um einer Variablen einen Wert zuzuordnen, verwendet man die Operatoren = und :=.

  • Wenn wir mit = arbeiten, nimmt die Variable den Wert an, der zu diesem Zeitpunkt auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens steht.
  • Verwenden wir :=, so nimmt die Variable zu jedem Zeitpunkt den Wert des Ausdrucks auf der rechten Seite von := an. Somit verändert sich der Wert der Variablen stets mit dem Wert auf der rechten Seite.
Wenn wir := verwenden, definieren wir den Wert der Variablen und wenn wir mit = arbeiten, ordnen wir ihr einen Wert zu.

Haben wir eine Variable definiert oder ihr einen Wert zugeordnet und wollen wir diese Zuordnung aufheben, so müssen wir den Befehl clear eingeben.


 Andere Objekte

Polynome: Man bildet ein Polynom mittels bestimmter arithmetischer Operationen (Summe, Differenz und Multiplikation) mit Zahlen und Variablen. Zur Auswertung eines Polynoms an einem Wert (einer Stelle) verwendet man die Funktion evaluieren. Es gibt zwei weitere wichtige Befehle: Wie ihre Namen andeuten, kann man mit wurzeln die Wurzeln eines Polynoms finden und mit faktorisieren ein Polynom faktorisieren. Mehr Informationen unter Polynom.

Gleichungen und Ungleichungen: Die folgende Tabelle enthält die Symbole, die zur Definition von Gleichungen und Ungleichungen und zur Arbeit mit ihnen erforderlich sind. WIRIS enthält die Symbolbilder, um die Symbole zu schreiben (auf diese Weise erzielt man die beste Schriftqualität), aber man kann sie auch über die Tastatur oder mit einer Tastenkombination eingeben.

Typ Symbol Symbolbild Tastatur
Gleichung ANMERKUNG 1 =  
Gleichung == Ctrl + =
Ungleichheit != Ctrl + !
Ungleichungen >  
>= Ctrl + Shift + >
<  
<= Ctrl + <

Man stellt eine Gleichung (oder Ungleichung) auf, indem man zwei Ausdrücke durch das Gleichheitszeichen (Ungleichheitszeichen) trennt. Die Ausdrücke auf der linken und rechten Seite einer Gleichung (Ungleichung) nennt man auch linken bzw. rechten Term.

Wenn wir auf der rechten Seite einer Gleichung oder Ungleichung das Zeichen ? ANMERKUNG 2 hinzufügen, dann gibt WIRIS an, ob die Gleichung oder Ungleichung erfüllt ist oder nicht.

ANMERKUNG 1 In der Regel genügt es, zur Aufstellung einer Gleichung das Symbol = zu verwenden. Falls bei der Zuordnung Verwechslungsgefahr besteht, sollten wir obligatorisch mit dem Symbol == arbeiten.

ANMERKUNG 2 Dem Zeichen ? muss ein Leerzeichen vorausgehen, denn ? ist ein gültiges Zeichen zur Bildung von Bezeichnern.


Listen: Eine Liste ist eine in geschweifte Klammern eingeschlossene Abfolge. Wir können die geschweiften Klammern mit den Tasten { und } oder über das Symbolbild eingeben. Wenn wir die geschweiften Klammern mit dem Symbolbild erzeugen, passt sich ihre Größe dem Inhalt an. Die Tastenkombinationen Ctrl + { und Ctrl + } erzeugen ebenfalls geschweifte Klammern variabler Größe.

Es gibt zwei Befehle, die uns bei der Arbeit mit den Listen helfen:

  • länge, legt die Anzahl der Elemente einer liste fest.
  • sortiere, ordnet eine Liste, wenn es möglich ist, ihre Objekte zu ordnen.


Vertikale Listen 

Man kann Listen auch vertikal wiedergeben; in diesem Fall nennen wir sie vertikale Listen. Diese Listen besitzen die gleichen Eigenschaften wie die horizontalen Listen, aber ihre Elemente stehen untereinander. Daher benötigt man keine Kommas zu ihrer Trennung. Wir verwenden das Symbolbild zum Anlegen von vertikalen Listen und erzeugen mit der Tastenkombination Shift + Enter eine neue Zeile.

Später werden wir sehen, wie man auf einfache Weise Listen bearbeitet und wie man sie zur Lösung von Gleichungssystemen einsetzt. Mehr Informationen unter Liste.


Vektoren und Matrizen: Ein Vektor ist eine in eckige Klammern eingeschlossene Abfolge, die wir mit den Tasten [ , ] oder mit dem Symbolbild erzeugen können, indem wir seine Elemente durch Kommas trennen, oder wir das Symbolbild verwenden. Wenn wir mit dem Symbolbild die eckigen Klammern erzeugen, passt sich ihre Größe an den Inhalt an. Das gleiche Ergebnis erhalten wir auch mit den Tastenkombinationen Ctrl + [ und Ctrl + ]

Eine Matrix ist ein Vektor, der aus Vektoren der gleichen Dimension besteht; jeder dieser Vektoren bildet eine Zeile der Matrix.

Die Symbolbilder und werden im Kapitel Menüs, Symbolbilder,... im Detail erklärt. Mit ihrer Hilfe lassen sich auf einfache Weise Vektoren und Matrizen erzeugen.

Um zu erlernen, wie man mit Vektoren und Matrizen arbeitet, können Sie im Kapitel Lineare Algebra nachschlagen.



Bearbeitung von Listen, Vektoren und Matrizen  

Die mit dem Symbolbild erzeugten unteren Indices sind das Hauptwerkzeug für die Arbeit mit Listen, Vektoren und Matrizen; insbesondere für die Entnahme und den Austausch ihrer Elemente.

Wenn eine Liste oder ein Vektor v und eine ganze Zahl i gegeben sind, dann ist vi die i-te Komponente von v, sofern 1<=i<=länge(v).

Jede Matrix ist ein Vektor aus Vektoren. Gegeben sei eine Matrix A; nun ist Ai ihre i-te Reihe und Ai,j ( oder Aij ) ist das j-te Element der i-ten Reihe (sofern diese Reihe existiert).

Äquivalent zur vorherigen Bezeichnung (Notation) können wir einen Punkt verwenden; somit ist der Ausdruck An äquivalent zu A.n, und Ai,j ist äquivalent zu A.i.j. Sei v ein Vektor; in gleicher Weise ist v.i nun die i-te Komponente von v.

Um den Wert einer Komponente einer Liste, eines Vektors oder einer Matrix zu verändern, können wir die im vorherigen Unterabschnitt erklärte Syntax verwenden und ihr mithilfe des Operators = einen neuen Wert zuordnen.


Mathematische Ausdrücke: mathematische Objekte, die keinem der bereits erwähnten Typen angehören, betrachtet man als mathematische Ausdrücke vom Typ Ausdruck.

Einige Beispiele für Objekte dieser Art sind

sin(x), sin(x)2+cos(x)2 oder f(x)

Der Befehl vereinfachen berechnet einen Ausdruck, der dem gegebenen Ausdruck äquivalent, aber so einfach wie möglich ist.

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