drucken
1 Minute Arithmetik Analysis Geometrie Statistik Menüs, Symbolbilder, ...
Mathematische Objekte Lineare Algebra Funktionen 2D-Graphiken Kombinatorik Symbolleiste. 
WIRIS ++ Gleichungen und Gleichungssysteme Folgen 3D-Graphiken Maßeinheiten Grundschule 
Geometrie 
Mit WIRIS kann man in der Ebene und im Raum mit geometrischen Elementen arbeiten (euklidsche Geometrie in der Ebene und im Raum) und diese Elemente graphisch darstellen.

Der erste Abschnitt beschäftigt sich mit geometrischen Objekten verschiedener Art. Im zweiten Abschnitt konzentrieren wir uns auf Funktionen, die auf diese Objekte einwirken. Die graphische Darstellung der geometrischen Elemente finden wir in den Kapiteln Graphiken (Geometrie in der Ebene) und 3D-Graphiken (räumliche Geometrie).

>>schnell   
 Geometrische Objekte  Punkte Geraden Strecken Ebenen
Kreislinien Kegelschnitte Dreiecke Polygone (oder Polygonzüge)
Polyeder (Vielecke)  
 Funktionen  Geometrische Studien
abstand mittelpunkt mittelsenkrechte winkelhalbierende
höhe seitenhalbierende fläche umfang
winkel objekte schneiden parallele senkrechte
Transformationen
symmetrie verschiebung rotation  

 Geometrische Objekte

In diesem Abschnitt werden die geometrischen Figuren erklärt, die wir konstruieren können.


Punkte:  Befehl punkt , Symbolbild oder

Konstruiert den Punkt der Koordinaten a und b; die Argumente dieser Funktion sind reelle Zahlen. Wenn wir den Ausdruck (a,b) ohne das Wort Punkt schreiben, erhalten wir lediglich die Abfolge von a und b, haben aber keinen Punkt definiert.

Einige Funktionen, die mit die Punkte zusammenhängen, sind mittelpunkt oder kolinear?.

Handelt es sich um Punkte im Raum, so konstruiert der Befehl punkt(a,b,c) den Punkt der Koordinaten a, b und c, in der gleichen Weise wie in der Ebene.


Geraden:  Befehl gerade , Symbolbild

Zur Konstruktion einer Gerade. Die verschiedenen gültigen Argumente sind:

  • zwei Punkte der Gerade (wir können das Symbolbild verwenden),
  • ein Punkt und ein Richtungsvektor,
  • eine Gleichung (Geradengleichung),
  • ein Punkt und eine reelle Zahl (die Steigung der Gerade).
Wenn r eine Gerade ist, geben anstieg(r), punkt(r) und vektor(r) einen ihrer Punkte und ihre Steigung bzw. ihren Richtungsvektor an. Zum Studium anderer, ebenfalls zur Konstruktion von Geraden geeigneter Funktionen können wir unter parallele, senkrechte und winkelhalbierende nachsehen.

Für Geraden im dreidimensionalen Raum sind folgende Argumente gültig:

  • zwei Punkte der Gerade (wir können das Symbolbild verwenden),
  • ein Punkt und ein Richtungsvektor,
  • zwei Gleichungen (sich schneidender Ebenen).


Strecken:  Befehl strecke , Symbolbild

Zur Konstruktion einer Strecke. Die verschiedenen gültigen Argumente sind:

  • die beiden Endpunkte der Strecke (wir können das Symbolbild anwenden),
  • ein Punkt und ein Vektor.

Einige Funktionen, die mit die Strecken zusammenhängen, sind länge oder mittelpunkt.

Ebenen:  Befehl ebene , Symbolbild

Zur Konstruktion einer Ebene. Die verschiedenen gültigen Argumente sind:

  • drei Punkte (wir können das Symbolbild verwenden),
  • ein Punkt und ein Richtungsvektor (senkrecht zur Ebene, Normalenvektor),
  • ein Punkt und zwei Vektoren,
  • eine lineare Gleichung.

Einige Funktionen, die mit die Ebenen zusammenhängen, sind parallele, senkrechte oder winkelhalbierende.

Kreislinien:  Befehl kreis oder cfr , Symbolbild , oder

Zur Konstruktion einer Kreislinie. Die verschiedenen gültigen Argumente sind:

  • ein Punkt (der Mittelpunkt der Kreislinie) und eine reelle Zahl (ihr Radius); Wir können das Symbolbild verwenden,
  • drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte (die zur Kreislinie gehören); Wir können das Symbolbild verwenden,
  • zwei Punkte (der Mittelpunkt und ein Punkt der Kreislinie, in dieser Reihenfolge); Wir können das Symbolbild verwenden,
  • die Gleichung der Kreislinine.
Ist c eine Kreislinie, so geben zentrum(c) und radius(c) in dieser Reihenfolge ihren Mittelpunkt und den Radius aus.
Ist P ein Punkt der Kreislinie c, dann gibt tangentenlinie(c,P) jene Tangente an c aus, die durch den Punkt P verläuft.


Kegelschnitte:  Befehl kegelschnitt , Symbolbild

Zur Konstruktion eines Kegelschnitts. Die verschiedenen gültigen Argumente sind:

  • fünf (zum Kegelschnitt gehörige) Punkte; Wir können das Symbolbild verwenden,
  • die Gleichung des Kegelschnitts.
Mit den Befehlen ellipse, hyperbel und parabel kann man Kegelschnitte anhand ihrer charakteristischen Elemente wie Brennpunkt, Scheitelpunkt und Brennweite konstruieren. Eine detaillierte Beschreibung der vielfachen Konstruktionsmöglichkeiten dieser Objekte finden Sie im Abschnitt Bezüge.

Einige Funktionen, die mit die Kegelschnitte zusammenhängen, sind zentrum, scheitelpunkt, brennpunkt, mantellinie, große_halbachse, kleine_halbachse oder halbe_brennweite.

Dreiecke:  Befehl dreieck , Symbolbild

Diese Funktion konstruiert ein Dreieck anhand seiner Ecken als Argumente; Wir können auch das Symbolbild verwenden. Wie sein Name andeutet, können wir mit dem Befehl leichseitiges_dreieck ein gleichseitiges Dreieck erzeugen.


Polygone (oder Polygonzüge):  Befehl polygon oder polygonzug , Symbolbild oder

Erzeugt das Polygon (oder den Polygonzug), das/der sich durch Verbinden der eingegebenen Punkte ergibt. Ein Polygon (Vieleck) ist eine geschlossene und ebene Figur, aber ein Polygonzug besteht aus Strecken, die eine Gesamtheit von Punkten verbinden. Ein Polygonzug ist im Allgemeinen offen und liegt nicht in einer Ebene.


Polyeder (Vielecke):  Befehl polyeder , Symbolbild oder

Erzeugt ein regelmäßiges Polygon mit n Seiten.

Einige Funktionen, die mit die Polyeder zusammenhängen, sind tetraeder, kubik, oktaheder, dodekaeder, Ikosidodekaeder, vielflach_zylinder_mit_deckel, vielflach_zylinder, vielflach_kegel_mit_deckel, vielflach_kegel, vielflach_sphäre oder vielflach_torus.

 Funktionen

Die Argumente der geometrischen Funktionen sind geometrische Figuren, die man in der Regel mit den im vorigen Abschnitt beschriebenen Funktionen konstruiert. Auch die Gleichung einer Figur ist als Argument zulässig; in diesem Abschnitt werden solche Gleichungen wiederholt verwendet.



Geometrische Studien 

abstand:  Befehl abstand

Berechnet den Abstand zweier Punkte sowie zwischen einem Punkt und einer Geraden oder Kreislinie.

Im dreidimensionalen Raum lässt sich auch der Abstand zweier Ebenen bestimmen, die sich nicht schneiden, sowie zwischen einer Geraden und einer Ebene (die sich nicht schneiden) und zwischen einem Punkt und einer Ebene.


mittelpunkt:  Befehl mittelpunkt

Berechnet den Punkt, der von zwei gegebenen Punkten den gleichen Abstand besitzt und auf der Strecke liegt, die beide Punkte definieren. Der Befehl mittelpunkt erhält als Argumente zwei Punkte oder eine Strecke; im letzteren Fall wird der Mittelpunkt zwischen beiden Enden berechnet.


mittelsenkrechte:  Befehl mittelsenkrechte

Berechnet die Mittelsenkrechte einer Strecke, das heißt, die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft und auf ihr senkrecht steht. Die Mittelsenkrechte lässt sich auch als die Schar aller Punkte definieren, deren Abstand von beiden Endpunkten der Strecke gleich ist.

Dieser Befehl nimmt als Argumente eine Strecke oder zwei Punkte an und berechnet die Mittelsenkrechte der vorgegebenen bzw. durch die Punkte bestimmten Strecke. Wir können als Argumente auch ein Dreieck und die Nummer der Dreiecksseite eingeben, deren Mittelsenkrechte wir suchen.

Mehr Informationen unter kreismittelpunkt oder circumradius.


winkelhalbierende:  Symbolbild oder , Befehl winkelhalbierende

Wir können die Winkelhalbierende folgender Objekte bestimmen:

  • zwei sich schneidende Geraden,
  • drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte (die somit einen Winkel definieren),
  • ein Winkel eines Dreiecks.

Mehr Informationen unter mittig oder innenradius.

In der räumlichen Geometrie können wir die Winkelhalbierende zweier sich schneidender Ebenen berechnen.


höhe:  Befehl höhe

Berechnet die zur i-ten Ecke des Dreiecks gehörige Höhe, das heißt, die Gerade durch diese Ecke, die auf der gegenüberliegenden Dreiecksseite senkrecht steht. Die Argumente dieses Befehls sind das Dreieck und die Nummer der Ecke, deren Höhe wir suchen.

Mehr Informationen unter orthocenter.


seitenhalbierende:  Befehl seitenhalbierende

Berechnet die Gerade, die eine Ecke eines Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Die Argumente dieses Befehls sind das Dreieck und die Nummer der Ecke, deren Seitenhalbierende wir suchen.

Mehr Informationen unter schwerpunkt.


fläche:  Befehl fläche

Berechnet den Flächeninhalt der als Argument eingegebenen Figur, unter der Annahme, dass diese geschlossen ist (Dreieck, Polygon, Kreislinie oder Ellipse).

Mehr Informationen unter geordnete_fläche.


umfang:  Befehl umfang

Berechnet den Umfang der als Argument eingegebenen geschlossenen Figur (Dreieck, Polygon, Kreislinie oder Ellipse).


winkel:  Befehl winkel

Berechnet den kleineren Winkel, der von zwei Geraden (im räumlichen Fall Ebenen) oder Vektoren bestimmt wird. Im ersten Fall erhält man einen Wert zwischen 0 und π/2 und im zweiten Fall zwischen 0 und π.

Ist F ein Dreieck, Polygon oder Polygonzug, so berechnet der Befehl winkel(F,i) den zur i-ten Ecke gehörigen Winkel.

Mehr Informationen unter orientierungswinkel.

Im räumlichen Fall heißt die Funktion winkel3d und lässt sich auch auf Ebenen anwenden. Wir können unter dem Befehl geometrie_status nachsehen, wie man diesen vereinfacht.


objekte schneiden:  Symbolbild , Befehl objekte_schneiden

Gibt die Liste jener Elemente aus, welche die Schnittmenge der beiden als Argumente eingegebenen Figuren bilden.


parallele:  Symbolbild oder , Befehl parallele

Das erste Argument dieser Funktion ist eine Gerade (oder Strecke) und das zweite ist ein Punkt. Hieraus bestimmt die Funktion die zum ersten Argument parallele Gerade, die durch den angegebenen Punkt verläuft. Mehr Informationen unter parallele?.

Analog zu einer Geraden oder Strecke im zweidimensionalen Fall können wir die Funktion auf eine Ebene im Raum anwenden.


senkrechte:  Symbolbild oder , Befehl senkrechte

Das erste Argument dieser Funktion ist eine Gerade (oder Strecke) und das zweite ist ein Punkt. Gibt die Gerade aus, die rechtwinklig zum ersten Argument durch den Punkt verläuft. Mehr Informationen unter senkrechte?.

Analog zum zweidimensionalen Fall können wir die Funktion auf eine Ebene im Raum anwenden.



Transformationen 

WIRIS beinhaltet die Option zur Berechnung und graphischen Darstellung der Transformation einer Figur mittels Bewegung der Ebene. Ebenso können wir Transformationen auf eine Liste von Figuren anwenden; als Ergebnis erhalten wir eine Liste, die sich durch Anwendung der Transformation auf jede einzelne Figur ergibt.


symmetrie:  Befehl symmetrie

Wir können die Achsensymmetrie oder Symmetrie hinsichtlich des Mittelpunkts berechnen. Bei einer Achsensymmetrie gibt man die Gerade, die eine Symmetrieachse der Figur bildet, und die Figur als Argumente des Befehls symmetrie ein. Bei einer Punktsymmetrie gibt man das Symmetriezentrum (den Mittelpunkt) und die Figur als Argumente ein.