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WIRIS ++ Gleichungen und Gleichungssysteme Folgen 3D-Graphiken Maßeinheiten Grundschule 
Gleichungen und Gleichungssysteme 

WIRIS bietet die fortschrittlichsten Techniken zur Lösung von linearen und nichtlinearen Gleichungen und Gleichungssystemen. Es schließt auch einige numerische Berechnungsmethoden ein, die Näherungslösungen für Gleichungen und Gleichungssysteme bestimmen. Außerdem löst WIRIS Ungleichungen und gewöhnliche Differentialgleichungen.

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 Die Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen  Gleichung
Gleichungssysteme
 Lineare Gleichungssysteme in Matrixform  
 Numerische Methoden  
 Gebrauch der Lösungen  
 Gewöhnliche Differentialgleichungen  
 Die Lösung von Ungleichungen und Ungleichungssystemen  

 Die Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen

Der Befehl löse ermöglicht die Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen. Im Abschnitt mathematische Objekte betrachten wir die Aufstellung von Gleichungen.

WIRIS versucht zuerst, mit exakten Verfahren sämtliche Lösungen der Gleichung oder des Gleichungssystems zu berechnen. Wenn das exakte Verfahren nicht zum Erfolg führt, kann man über den Befehl numerische_lösung stets die numerische Lösung suchen.

WIRIS gibt die gefundenen Lösungen in einer Liste aus. Sollte sich weder mit exakten noch mit numerischen Methoden eine Lösung finden, so gibt WIRIS eine leere Liste aus.



Gleichung 

Um eine Gleichung zu lösen, müssen wir diese als erstes Argument des Befehls löse eingeben; als zweites Argument folgt die Variable, nach der wir auflösen möchten. Wenn wir diese Variable WIRIS nicht angeben, versteht das System, dass wir alle in der Gleichung auftauchende Variablen verwenden wollen, und löst eine von ihnen nach den anderen Variablen auf. Wir können das Symbolbild verwenden, das uns bei dieser Konstruktion hilft.

Ob wir die Variable, nach der wir auflösen möchten, angeben oder nicht; auf jeden Fall können wir das Argument CC an der letzten Position hinzufügen, um im Körper der komplexen Zahlen nach Lösungen zu suchen. In diesem Fall müssen die Gleichungen oder Gleichungssysteme Polynome sein.



Gleichungssysteme 

Ein Gleichungssystem ist eine Liste von Gleichungen. Die einfachste Form der Konstruktion von Gleichungssystemen ist über vertikale Listen, die wir mit dem Symbolbild erzeugen können.

Wenn wir nicht angeben, nach welchen Variablen wir auflösen möchten, betrachtet WIRIS, analog dem Vorgehen bei der Lösung von Gleichungen, sämtliche Variablen und gibt nötigenfalls eine parametrische Lösung aus. Möchten wir aber angeben, nach welchen Variablen aufzulösen ist, so können wir diese als zweites Argument des Befehls löse als Liste eingeben.


 Lineare Gleichungssysteme in Matrixform

Ein gegebenes Matrixsystem A·xT=bT mit Systemmatrix A, Vektor der Unbekannten x und Vektor der unabhängigen Terme (Absolutterme) b können wir durch Aufrufen des Befehls löse(A,b) lösen. Die Elemente der Matrix A und der Vektor b können mathematische Ausdrücke jeder Art sein.

Das Ergebnis nach Eingabe dieses Befehls hängt von der Art des Systems ab:

  • Wenn das System konsistent (kompatibel) und eindeutig bestimmt ist, so wird als Ergebnis der Lösungsvektor ausgegeben.
  • Ist das System konsistent (kompatibel) und nicht eindeutig bestimmt, so gibt WIRIS eine Liste aus, die aus einer Matrix und einer speziellen Lösung besteht. Die Spalten dieser Matrix bilden eine Basis des Vektorraums der Lösungen des homogenen Systems A·xT=0.
  • Ist das System inkonsistent (nicht lösbar), so gibt WIRIS als Ergebnis null aus.


 Numerische Methoden

WIRIS beinhaltet diverse numerische Methoden zur Lösung von Gleichungen. Es wird in jedem Einzelfall, die am besten geeignete Methode aus gewählt und versucht, ausgehend von einem Ausgangspunkt oder –intervall eine Lösung zu finden.

Der Befehl zum Lösen von Gleichungen mit diesen Verfahren ist numerische_lösung. WIRIS enscheidet, welche Methode im Einzelfall am besten geeignet ist. Daher muss der Benutzer nicht alle bestehenden Methoden und ihre Vorteile kennen. Wenn man eine eindeutige Lösung einer Gleichung sucht, sind die Ergebnisse von anderer Art als jene, die man über den Befehl löse erhält.

Der Befehl numerische_lösung lässt sich auch auf ein Gleichungssystem anwenden, wenn man beachtet, dass man eine eindeutige Lösung des Systems erhält.


 Gebrauch der Lösungen

Die Lösung einer Gleichung oder eines Gleichungsystems ist eine Liste aus Listen. Die äußerste Liste ist erforderlich, wenn die Gleichung mehr als eine Lösung besitzt. Die innere Liste besteht aus Paaren x=a, wobei x eine Variable der Gleichung oder des Systems ist und a der Wert der entsprechenden Lösung.

Um mit den Lösungen zu arbeiten, können wir ihre Werte auf verschiedene Weise erhalten:

  • Indem wir die Eigenschaften einer Liste von Paaren x=a nutzen.

  • Durch Entnahme von Elementen aus einer Liste.


 Gewöhnliche Differentialgleichungen

WIRIS umfasst eine Lösungsmethode für gewöhnliche Differentialgleichungen. Wenn wir eine Ableitungsfunktion aufschreiben, können wir das Symbolbild verwenden. Wir müssen die unabhängige Variable angeben, von der die Funktion (die abhängige Variable) abhängt; hierzu ist erstere in Klammern dem Funktionssymbol nachzustellen: y'(x), y(x).


 Die Lösung von Ungleichungen und Ungleichungssystemen

WIRIS ist ebenfalls in der Lage, Ungleichungen und Ungleichungssysteme einer Variablen durch exakte Methoden und numerische Näherungsverfahren zu lösen.

Ähnlich den vorher behandelten Fällen können wir den Befehl löse_die_ungleichung aufrufen, ohne die Variable anzugeben, nach der wir auflösen möchten, oder wir geben die gewünschte Variable als zweiten Parameter nach der Eingabe der Ungleichung bzw. des Systems an.

Wenn die Ungleichung oder das Ungleichungssystem keine Lösung besitzt oder wenn sie/es für alle Werte der Variablen erfüllt ist, gibt WIRIS im ersten Fall falsch und im zweiten Fall wahr aus. Diese Besonderheit ergibt sich daraus, dass in den Programmiersprachen (im besonderen in WIRIS) die Ungleichungen gebräuchliche Formen der Flusskontrolle sind. Um dieses Thema zu vertiefen, können wir im Abschnitt WIRIS ++ nachsehen.

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