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Analysis 

Die Analysis ist der Zweig der Mathematik, der die Funktionen studiert.

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 Ableitung  
 Integration  Berechnung von Stammfunktionen
Bestimmte Integration
 Berechnung von Grenzwerten  Grenzwert
Links- bzw. Rechtszeitige Grenzwerte
 Taylorreihen  
 Reihen  
  Differenzialgleichungen  Vektorfelder Integralkurven Integralkurve  

 Ableitung

Zum Ableiten können wir das Symbolbild verwenden, der Befehl differenzieren oder das Zeichen ', das dem Apostroph entspricht.

Wenn man das Symbolbild anklickt, es erscheint der gewöhnliche Ausdruck der Ableitung bezüglich einer Variablen in zwei leeren, grünen Kästchen. Ins obere Kästchen geben wir den Ausdruck ein, den wir ableiten möchten, und ins untere Kästchen die Variable, nach der wir ableiten möchten.

Der Befehl differenzieren besteht aus zwei Argumenten: Das erste Argument ist der Ausdruck, den wir ableiten möchten, und das zweite ist die Variable, nach der wir ableiten. Wenn es sich um eine Funktion nur einer Variablen handelt, kann man das zweite Argument weglassen.

Nach der Funktion, die wir ableiten möchten, können wir den Operator ' verwenden, wie es in der Mathematik üblich ist. Beachten Sie, dass hier die Variable, nach der man ableiten möchte, nicht anzugeben ist, denn WIRIS bestimmt diese Variable automatisch. Wenn wir diesen Operator auf einen Ausdruck mit mehr als einer Variablen anwenden, erhalten wir eine Fehlermeldung.

Der Operator ' lässt sich auch zum Ableiten von Funktionen verwenden. Wenn f=f(t) eine Funktion einer Variable ist, dann ist f' die Ableitungsfunktion (von f nach t). Somit ist die Ableitung von f in einem Punkt a gleich dem Wert von f'(a); so entspricht es der gewöhnlichen Schreibweise der Analysis. Betrachten wir einige Beispiele.


 Integration


Berechnung von Stammfunktionen 

Zur Berechnung der Stammfunktion einer gegebenen Funktion verwenden wir die Symbolbilder Symbolbild oder oder den Befehl integrieren.

Wenn man das Symbolbild anklickt; es erscheint der gewöhnliche Ausdruck der Stammfunktion bezüglich einer Variablen in zwei leeren, grünen Kästchen. Ins erste Kästchen geben wir den Ausdruck ein, den wir integrieren möchten, und ins zweite Kästchen die Variable, bezüglich der wir integrieren möchten. Wenn wir die Funktion, die wir integrieren möchten, f und das Ergebnis der Integration F nennen und die Variable, über die wir integrieren, als x bezeichnen, so sagen wir, F ist die Stammfunktion von f. Man verifiziert, dass die Ableitung von F nach x wieder f ergibt.

Alternativ können wir auch den Befehl integrieren mit zwei Argumenten verwenden; das erste Argument gibt den Ausdruck und das zweite die Variable an.

Wenn hinsichtlich der Variable, nach der man integriert, kein Zweifel besteht, kann man Stammfunktionen über das Symbolbild berechnen. Wenn man dieses Symbolbild anklickt, erscheint ein Symbol mit einem leeren, grünen Kästchen, wo wir die Funktion eintragen, bezüglich der wir integrieren möchten.

Wenn der Ausdruck, den wir integrieren möchten, keine Variable enthält, integriert WIRIS über eine erfundene Variable. Wenn genau eine Variable vorliegt, wird über diese integriert und bei mehr als eine Variablen wird eine Fehlermeldung ausgegeben. Das Ergebnis ist in jedem Fall eine Stammfunktion des Arguments oder ein entsprechender Ausdruck.

Als Alternative zum Symbolbild können wir den Befehl integrieren mit genau einem Argument verwenden ; die vollständige Beschreibung für das Symbolbild gilt auch für den Befehl.



Bestimmte Integration 

Wir berechnen ein bestimmtes Integral zwischen zwei Werten mithilfe der Symbolbilder oder oder den Befehl integrieren. WIRIS berechnet die Stammfunktion der Funktion und wendet die Regel von Barrow an. Diese Regel besagt einfach, dass man die erhaltene Stammfunktion an jenen Stellen auswertet, die als Integrationsgrenzen gegeben sind, und danach subtrahiert. Wird keine Stammfunktion gefunden, so wird den Wert des Integrals mit numerischen Methoden bestimmt (und außerdem eine Fehlermeldung ausgegeben).

Wenn man das Symbolbild anklickt es erscheint das Standardsymbol der bestimmten Integrale, das vier leere, grüne Kästchen enthält. Die Kästchen am unteren bzw. oberen Rand des Integralsymbols entsprechen der unteren und oberen Integrationsgrenze. Ins erste der beiden verbleibenden Kästchen geben wir den Ausdruck ein, den wir integrieren möchten, und ins zweite dieser Kästchen die Variable, bezüglich der wir integrieren möchten.

Als Alternative können wir auch den Befehl integrieren mit vier Argumenten einsetzen. Hierbei ist das erste Argument der Ausdruck, das zweite die Variable und das dritte und vierte Argument entsprechen der unteren bzw. oberen Grenze des Intervalls, über das wir integrieren möchten.

Wenn hinsichtlich der Variable, nach der man integriert, kein Zweifel besteht, kann man bestimmte Integrale auch mit dem Symbolbild berechnen. Bei einem Klick auf dieses Symbolbild erscheint das Standardsymbol der bestimmten Integrale, das drei leere, grüne Kästchen enthält. Die Kästchen am unteren bzw. oberen Rand des Integralsymbols entsprechen der unteren und oberen Integrationsgrenze. Die Funktion oder den Ausdruck, den wir integrieren möchten, schreiben wir in das dritte Kästchen. Wenn der Ausdruck, den wir integrieren möchten, keine Variable enthält, wird über eine erfundene Variable integriert. Wenn genau eine Variable vorliegt, wird über diese integriert und wenn es mehr als eine Variable gibt, erhält man eine Fehlermeldung.

Wir können alternativ auch den Befehl integrieren mit drei Argumenten verwenden; das erste Argument gibt dann die zu integrierende Funktion oder den zu integrierenden Ausdruck an und das zweite und dritte Argument geben die untere und obere Integrationsgrenze an.


 Berechnung von Grenzwerten
Zur Berechnung von Grenzwerten von Funktionen verwenden wir die Symbolbilder , oder , oder den Befehl grenzwert.

Grenzwert 

Wenn man das Symbolbild anklickt es erscheint das Standardsymbol der Grenzwerte, das drei leere, grüne Kästchen enthält. Im oberen Kästchen, rechts von lim, müssen wir den Ausdruck eintragen, dessen Grenzwert wir berechnen möchten. Ins erste untere Kästchen tragen wir die Variable der Grenzwertbildung ein und ins zweite untere Kästchen den Wert, an den wir uns annähern möchten. Falls wir anstelle des Symbolbilds den Befehl grenzwert verwenden, können wir den Grenzwert der Funktion f niederschreiben, wenn x auf die folgenden Arten gegen den Wert a strebt:

grenzwert(f,x->a)
grenzwert(f,x,a)
Wir beachten, dass das Symbolbild die Bildung eines Symbols erlaubt, das äquivalent zu -> ist.

Der Wert von a kann eine reelle Zahl sein oder entspricht den Werten plus unendlich (Symbolbild ), minus unendlich (Symbolbild ) oder unendlich ohne Vorzeichen (Symbolbild ).



Links- bzw. Rechtszeitige Grenzwerte 

Mithlife der Symbolbilder und kann man die Grenzwerte von der rechten bzw. der linken Seite bestimmen. Die Parameter in den leeren Kästchen entsprechen jenen für das Symbolbild .

Zur Berechnung von links- und rechtszeitigen Grenzwerten können wir auch den Befehl grenzwert einsetzen. Zur Berechnung des Grenzwerts der Funktion f, wenn x gegen a strebt, und zwar von rechts (oder von links), kann man gleichermaßen jeden der folgenden Ausdrücke verwenden:

grenzwert(f,x->a,1) (von links, grenzwert(f,x->a,-1) )
grenzwert(f,x,a,1) (von links, grenzwert(f,x,a,-1) )


 Taylorreihen

Mithilfe von WIRIS können wir die Taylorreihenentwicklung einer reellen Funktion in einem Punkt berechnen.

Zur Berechnung der Taylorreihenentwicklung einer reellen Funktion um einen Punkt verwenden wir den Befehl taylor_reihe mit drei Argumenten: Das erste Argument ist die Funktion, das zweite gibt die Variable an und das dritte ist die Stelle (der Wert), an der man die Taylorreihe bestimmen möchte (erinnern wir uns, dass man mit dieser Reihenentwicklung für jede Funktion an einem gegebenen Punkt einen Näherungswert finden kann). Wenn wir eine bestimmte Anzahl von Termen der (unendlichen) Reihe erhalten möchten, so können wir diese gewünschte Anzahl als viertes Argument eingeben.

Um das Taylorpolynom einer bestimmten Ordnung einer beliebigen Funktion zu berechnen, können wir den Befehl taylor verwenden und danach die vier eben beschriebenen Argumente eingeben. Wir müssen beachten, dass das vierte Argument jetzt unverzichtbar ist.


 Reihen

Mit WIRIS lässt sich die Konvergenz von Reihen bestimmen und die Summe von konvergenten Reihen berechnen.

Wir schreiben die Reihen mit der mathematischen Standardschreibweise, wie die folgenden Beispiele zeigen. Wir erhalten als Ausgabe den Summenwert der Reihe, falls diese konvergiert (auch, wenn sie divergiert, aber WIRIS den entsprechenden unendlichen Wert bestimmt); im anderen Fall ist die Reihe selbst die Ausgabe.

Um mithilfe von WIRIS die Konvergenz einer Reihe herauszufinden, verwenden wir den Befehl konvergent? und geben als einziges Argument die Reihe ein.


  Differenzialgleichungen

Siehe den Befehl löse zur Bestimmung der exakten Lösungen einer Differenzialgleichung.


Vektorfelder:  Befehl vektorfeld

Man kann Vektorfelder verwenden, um gewöhnliche Differenzialgleichungen erster Ordnung in der Ebene zu studieren. Mithilfe des Befehls vektorfeld zeichnen wir Vektorfelder.


Integralkurven:  Befehl integralkurven

Hiermit können wir einige der Lösungskurven zeichnen, die durch die Differenzialgleichung eines Vektorfeldes gegeben sind.


Integralkurve:  Befehl integralkurve

Berechnet eine spezielle Lösung einer Differenzialgleichung.

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